思睿讲坛第173期:杨孝平
作者:数学与统计学学院青年传媒中心   来源:青春飞扬    点击数:次   发布时间:2016/12/07
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郭沫若曾说过一句话:“和年轻人在一起,我也成了年轻人。”所以,我很高兴跟同学们一起交流。今天我主要是想跟大家聊一聊数学的魅力和作用。我想,主要是聊,所以呢只是谈谈我个人的一些体会和看法。这样呢,我从这样几个方面聊一下我的体会。第一个呢,既然我们讲数学、谈数学,那我们首先应该需要想一想数学是什么;第二个,我想谈一谈数学和我们生活、和我们之间的关系。第三个呢, 所谓的大道至简,大美天成,所以说,数学有它独特的美,数学是一种美学。所以呢,作为我们一个学数学人的来讲,应该对数学有一定的认识和理解。第四个呢,谈一谈数学和哲学、世界宇宙之间的关系。对数学的认识,偶尔一讲起来可能就是一张纸、一支笔、x y z 加减乘除这些东西,其实,数学它的作用、形象远远不止这些。它应该是和天文地理,和人生、社会是紧密相关的,事实上,谈数学也可以谈经论道、仰望星空,和宇宙的生存发展实际上是紧密相关的。第五个部分,我是想谈一谈数学和现代科技之间的关系,举几个例子来说明一下。最后我想谈一谈,作为一个做数学的人来讲,怎么来学数学。这是一个轮廓,可能由于时间关系,我只能将几个重要的点讲一讲。

下面我从数学是什么来谈起,我想如果说这个问题的话,可能有同学会笑:数学是什么我们都很清楚,还谈数学是什么,这不是笑话吗。从幼儿园开始,到小学中学高中大学,甚至是大家以后读研究生,都离不开数学,都需要数学。那数学到底是什么呢?我们有没有问过这个问题?有没有思考这个问题?很坦率地说,数学是什么我也不知道。数学是什么,实际上,是很难给出一个准确的定义的。但是我们可以从一些侧面来了解它、感知它。比方说,数学是发明还是发现?这种问题,也是大家一直在讨论的问题。发明和发现有什么区别啊?其实,发明是和创造有关系,它是无中生有,本来没有的东西我们把它创造出来,使它有了,这样是发明。发现,是不管你认不认识它,你有没有发现它,它就在那里。所以说这是发现,发现是一种客观存在的东西,这两个是不一样的东西。但是对这个东西的理解,实际上是对这个学科它的一个存在方式的认识,或者是对你这个学科的一个领域一个规则的认识。当然我想,一概而论是发明还是发现,不是实事求是的,我认为呀,发明和发现应该都是有的。数学有没有用,在我们学数学专业的人来讲,至少比起我遇到的很多学生,他们对数学的认识,他们往往觉得数学不就是学分吗,最多是个工具,我上大学学数学可能以后师范去当老师,或者是因为没有其他专业可以选,或者我是被坑蒙拐骗进来的。这个数学有什么用啊,本来我是作为一个谋生的手段,但是这个谋生的手段至少我没看到有什么用。其实,事实上并不是这样的,如果你深入的了解数学是什么,你就会知道数学它的用处无处不在。数学呢,可以深入到我们社会、科技,所以呢,我想这是我要说的。当然,为什么要学数学?需要学数学的什么?这是作为我们每位同学来讲,不管怎么样,我一直在强调,你是科班出身的数学学生,你应该想这个问题,应该会遇到这个问题。那我想,首先谈一谈什么是数学。数学这个词,Mathematics 英语是来自希腊语。它本来的意思是学会、被理解的东西。实际上呢,我们知道,数学的发展,它有很深的渊源。但是,古希腊对数学的发展起到一个很重要的作用。其实呢,我这里这张照片是希腊雅典的一个神庙。这个神庙建筑呢历经几千年,如果你身临其境的话,虽然是断云残壁,但是你会感到很震撼。震撼是因为它宏伟,也正是因为经过几千年的风云,它很稳定。你从这个细节就能看到它的几何形状、结构,感受到当时古希腊数学的发展、循进的程度。数学本身从几何测量发展来讲,实际上是用于建筑测量等等之类的,它是一步步成长起来的。有一本书,是 R·柯朗 H·罗宾 写的《什么是数学》,大家有兴趣可以看一看,它可以用一些比较浅显的语言来说明什么是数学。但是到底什么是数学呢?我想,对我们同学来讲,可能有这样的印象,因为我这个形象,讲数学的形象实际上不是很好,至少在我们普通大学生来说不是很好,我写的这些词语,是我给大学生上课时让他们写的他们对数学的感知与认识,只准他们写两到三个字,这些词语都是他们写的,很多词都是夙命的,你可以看出来,数学的形象在普通人说是人生难题,不是很好,这个“无聊”“繁琐”“没用”“坑爹”,学生说的话啊,“无趣”“刻板”等等之类这样的形象。我想,如果有学生对数学产生这样的形象,至少我觉得这是我们数学老师的悲哀。因为数学当然有自己学科的一些特点,可能比较严谨、抽象,这是数学的特点。但是,数学不仅仅是这些,数学它有它有趣、时髦的一面,有它浪漫、疯狂的一面。实际上,数学有很多方面,如果仅仅是给学生有这样的认识,作为我们老师来讲,我觉得没有做到。但是作为我们一个数学系的学生来讲,如果仅仅是对数学有这样的认识,我觉得是遗憾,我觉得你没有全方位的、客观的来了解数学。这边有三个例子,是三个小故事,从不同程度上反映了一个学数学的人或者和数学相关的人的思维方式。这个题目是《你是数学家,你全家都是数学家》,好像骂人对不对,故事呢就是说一个物理学家一个数学家一个工程师在一起,工程师和物理学家坐着热气球在一个大峡谷里飘啊飘,飘到最后,不知道自己在哪个位置了,物理学家就对着空中喊“我在哪里”,问地上的数学家,地上的数学家应该知道方位,数学家的回答是什么呢?“你在热气球上”这就是数学家的回答,一听到这个回答,工程师就暴跳如雷的说“数学家这个混蛋,他老是回答一些正确而无用的东西。”回答他在气球上面,这个答案是正确的,但是,对我们来说是无用的,就他们的感觉来说,这是一个小的故事,就反映这样一个观点,就说数学家一般的回答是正确而无用的。然后呢,篱笆问题讲的是三个人,给定一段篱笆,要围成一个面积最大的区域,工程师就想,他是比较聪明的,还是知道一点数学,围成一个圆,给定的周长围成一个圆的面积是最大的;物理学家说,我找个工具来,把它劈成一个个丝子,搞很长,围成的区域面积更大;数学家说,我不需要那么长的篱笆,他仅仅截了一小段,把自己围起来说,我围成的区域是我在区域的外部,就说,他围成的区域是一个无穷大的区域。从这个可以看出来,数学家是刻板还是睿智?是笨还是聪明?还有一个就是讲消防队长的问题,有个数学家,做数学做累了,头脑发热想,去当消防队员,去找消防队长,消防队长一听就很高兴,数学家能做我们的消防队员,我们消防队一下子就高大上起来了,高素养的人来做我们的队员,在这之前,先问你几个问题,把它带到一个堆满货物的仓库里面去,他说,如果,仓库里的货物着火了怎么办,数学家一听,说着火了,去灭火啊,消防队长一听,很高兴,数学家还不是很呆,还可以,还知道灭火;接着,他问了第二个问题,说没有着火怎么办,数学家想了想,说没着火,把它点着啊,消防队长一听就蹦起来了,干什么,怎么这么傻。可我们我们数学人都是这么干的,把我们不知道的问题转化成我们会解决的问题,把未知的问题转化成已知的问题来解决,没有着火不知道怎么解决,把它着火,我就有答案了,我们就可以去灭火去了,这就是数学家的思维方式。这个是一个笑话,但是大家反复好好回想一下,我们数学在处理问题的方式方法上面,这是我们一个很重要的思路,我们把未知的问题转化成已知的问题来处理,比方说,我们以直代曲,用一些简单的东西逼近复杂的东西。
什么是数学呢?有一个说法,数学不是别的东西,而是从定义和公理中推导出来的结论。本身从我们数学上来讲,数学不需要去讨论不加定义的对象,比如,点,线,数,事实上,可验证的事实只是结构和关系,说白了,什么是数学呢,数学本身就是探究结构和关系。我们数学上最重要的是三大结构,三大基础结构,代数结构,数结构和拓扑结构,当然还有一些其他的结构,微分结构等等,但是这三个是基础,我们很多东西的研究都是在这基础上的,我们数学很多都是研究这些关系,比如,大小关系,等价关系和包含关系等,数学的绝大部分知识都可以归纳为结构和关系。柯朗写的一本书《什么是数学》,说,数学的对象是什么并不重要,重要的是做了什么。我们知道,美国一个著名的研究所,世界上最著名的研究所之一,柯朗研究所是以他的名字命名的。数学往往徘徊在现实和非现实之间,它的意义不存在形式的抽象中,也不存在具体的实例中。数学是非现实的现实性,数学连接了心灵感知的抽象对象,完全没有生命的,真实的物质。这有两个图,是《盗梦空间》的两个图,《盗梦空间》这个电影出来之后,有很多人去研究这个东西,它里有很多数学的思想和方法,比方说,我们生活的现实空间是一个欧氏空间,但是呢,梦中的空间可能是一个非欧式空间,所以,梦中的很多现象看上去是荒诞不经的,但它可能有一种联系,比如,从时间的概念来讲,由于,梦中是一个非欧氏空间,他的时间可能比现实的快些,本身他有很多的关系在里面,比如,《盗梦空间》用了很多风行维数。
自然这本书是由数学来写成的,英国的培根说过,数学是通往科学大门的钥匙。冯诺依曼说过,数学处在人类智慧的中心邻域。查过历史可以知道,基于他的理论,诞生了计算机,而且他在计算机的存储起到了至关重要的贡献,他是一个数学家。美国的AD报告说过这样的一句话,在数学中整理出宇宙的秩序,这是一个宇宙的图像,在里面可以谈很多数学的东西。这是利玛窦,西方的传教士,徐光启,明末人,他们翻译了欧几里得《几何原本》,利玛窦,他把《几何原本》带到中国,和徐光启共同翻译。大家去上海就知道徐家汇,徐光启的家,其实这里面有很多故事,利玛窦,当时来到中国除了传教,也同时把科学之光带到中国,当时,他为了传教,穿汉服,讲中国话,学中国礼仪。我们现在很多事崇洋媚外的思想,但当时,他来到我们泱泱中华,学中华的礼仪。徐光启在翻译《几何原本》有这样几句话:"此书为益,能令学理者祛其浮气,练其精心;学事者资其定法,发其巧思,故举世无一人不当学。”这是在几百年前对几何它的看法,可以看出来,不光这个要学知识,它是要祛其浮气,练其精心;学事者资其定法,几何这东西是教你思维方式,教你考虑问题的方式,处理问题的方式,所以他说故举世无一人不当学。所以,我想呢,数学是什么,我们可以从不同的方面去体会它,最少我们对数学有这样一些认识,这是我们学数学的人应该去体会的,数学是从人类生活中长大,发展。第二个,数学知识本身他是有来龙去脉的,它往往是尝试的升华,抽象的升华,其实数学本身,并不是我们课本上所学的那样定理,意义,公式。其次如果你把数学追根溯源,把数学能去研究它的应用的话,你就能真正理解,数学是一科鲜活的东西,它是有来龙去脉的。再一个,数学它是一个整体它是相互关联的。第四个数学在生活,科技,工程中呢!它处处都有,数学是美学,数学是哲学。再一个数学其次,接不接受,认不认可,数学正在以更加深刻的影响着世界。我讲的知识,这个是我们对数学的一个基本的认识。
那数学是发明好呢?还是创造?发现?我想这个呢?从数学本身这个,这个定理,定义,这些形式来看,其实它有发明的成分在里面也有发现的成分在里面。这个比方说素数质数,很多数学的一些结论,这个到底是发明还是发现呢?我们这个不能一概而论。其实呢,它呢?还是有双重的因素在里面。但是呢!我们可以从不同的侧面去理解它体会它,也是我们对数学的一个整体的看法。数学对象实际上是一个独立的不依赖于人的思维的一个客观存在。这个也是数学本身的一个属性,但是数学也需要数学家数学工作者去发现去引入概念,引入一些记号是它系统化,使它科学化,这也是它发明创造的一部分。
我在给学生上课的时候呢让学生最后交小论文。学生最后,有一段话透露了学生这个对数学的一个直观感受。比方说,总之数学是偏低的,因为有那么多人因为数学挂科,而数学又是迷人的,还是有更多的人愿意为它奋斗终身。这是大一的学生这个课上完了之后,因为我又要问,你们随便你们怎么写,只要你们写出对数学的真实感受,对数学真实的体会都可以,第二个我想,数学是这样,它是和人类一起长大的。罗博凯尔文他(她)是一个著名的物理学家,实际上数学上我们知道有一个凯尔文变换,其实他这个是一个大物理学家。他有这样一个说法,他说“别把数学想象得艰难晦涩,不可中悟,它只不过是常识的升华而已”数学本身呢!它是我们社会生活的一部分,大家有兴趣的话我也作为数学的一个学生来讲,你应该去看看数学的发展史。有一个比较经典的书就是凯尔文的《古今数学思想》,他写得比较通俗。写的是数学本身的一个发展史,本身你读了之后就会知道,数学本身它并不是凭空造出来的,并不是数学家做的一些无聊的游戏,本身它是根据社会发展的需要应运而生的。比方说几何发明测绘和建筑,微积分实际上与天体物理相关的,概率论起源与赌博,这个东西有它的来源,反过来又有它很多的应用,我们不一一再说。
另一个从数学本身来讲,其实我们讲三大产业革命实际上都是和数学息息相关的,可以说没有数学就没有三大产业革命。第一个微积分,有了微积分之后才有了十七十八世纪的蒸汽机,纺织机等机械运动。第二个有了电磁理论数学基础之后才有了发电机电动机,和电气通讯。大家可以查这个历史,如果没有这个东西,你是不可能有进一步的电磁理论,对电的理解。然后没有数学基础就不会有计算机原子能和机械自动化。当然如果说第四次IT产业,更是因为有数学在前面做基础支撑,你是不可能达到的。在我们生活中处处有数学。可以说在很多方面,也可以说比比皆是,我不再一一列举。
对于我们学数学的人来讲,其实我们对数学应该有一个认识。数学本身对发展的一个大致的基本规律,它是从低维到高维,从线性到非线性,从局部到整体,从交换到非交换,从正规到歧义。等等这些。大家数学课程如果学得不是很好可能不一定有体会,但是呢!当你的数学学得越来越多之后,你就可以对数学本身的发展成长有一个体会。有了这个体会之后,实际上数学发展的特点也决定了我们对数学数学研究或者在处理数学的问题上的处理的方式。
然后由线性到非线性,非线性问题很复杂,线性问题很简单,但是非线性描述的很多问题更加客观更加具体。但是正应为他们有这样的关系我们在处理问题分析问题的时候我们往往要线性化,把复杂的问题转化成简单的问题。把一些困难的东西我们来用简单的问题来逼近它。来理解它,所以其次处理和分析问题我们往往用信息化的思想来处理问题,这是一个很重要的一个东西一个很自然的一个想法。
数学本身是条件与结论缺一不可,从数学的角度来讲条件决定结论没有条件就没有真正的结论。实际上作为我们一个学数学的人来讲,尤其要有这样一个习惯,任何结论实际上是有条件的。这个问题像树上有四只鸟开枪打死一只还剩几只,这是一个脑筋急转弯的问题,标准答案原来是九只,后来是只剩下一只,到一只都没有。这个是老生常谈的问题。但是这两个答案也只是条件也只是在一定的条件下成立。以前的这个时候我们是这样,但是你想,如果这个抢是无声手枪那还会一只鸟没有吗?打死一只还剩九只。如果就有鸟不怕死呢?如果说有好几只鸟不能自由活动,我人为地把它拴在树上,他会飞吗。其次呢我想,从这看有很多很多条件和例子。实际上我所有的结论是有条件的,没有条件的结论是一个不严格的结论。我们数学最重要的是追求在什么样的条件下,这是我们应该关注的地方。
我想,数学的美,我想数学与美学可以从很多不同的方面来解答。数学与美学,首先数学是世界的本质,是真的,这个和美学是一致的。第二个数学的表达式和规律处处体现了美,数学的普遍真理性也是美学的一个部分。再一个数学简单对称,实际上它也体现了这个美。
这里有一系列的例子,比方说1.618在几何上,比方说数学的公式,和结论,像这个号这里有一系列的例子,比方说1.618在几何上,比方说数学的公式,和结论,像这个号称世界上最美的公式(e^πi+1=0)实际上它吧这几个因素,e,π,超越数,虚数,1,0,加号这些东西都存于这个公式里,你可以体会这是一个多种的成立一个奇妙的成立。欧拉公式号称是世界上最美的公式。再一个比方说这个迭代,学数学的我们都知道迭代,迭代实际上也是一个很奇妙的一个东西。有一些简单的迭代之后会产生一些非常奇妙的现象。多边系统,函数迭代,产生了动力系统。几何的迭代就会产生一些自相似的现象。我不再一一说了。
数学与绘画与建筑,实际上这个摄影几何,这个透视点本身实际上都是和数学息息相关的。这个是对称性。这个是阿婆咯破里斯神庙,这是金字塔,这是巴黎圣母院,这是印度的泰姬陵,他们就证明了数学的几何和对称性在这里得到了统一。雕塑大师罗丹说过“我不是一个梦幻者,我是一个数学家,我的雕塑之所以好是因为它是几何学。在我看来平面与体积都是具有法则与美的。”这个是莫拉蒂那的画像,我们有很多的这个理论。数学的美在这里。
数学与音乐这个我不详细地说了
第四个我想讲数学的世界观数学本身,它看上去是一些没有生命的东西,是一些没有生命的东西,是一些符号公式的组合与统一。其次可以说有了数学才有了世界的一个表示。数学与物理与宇宙是息息相关的,从人类自从有了思维以来,人类就会思考这些问题,人类或者宇宙或者这些物质是从哪里来的,是什么东西到哪里去这个,人类或者宇宙,或者任何物质,是从哪里来的,是什么东西,到哪里去,这些问题实际上,既是哲学的问题,也是科学的问题。这个是科学的问题,就产生了原子理论,产生了宇宙爆炸理论等等近代物理学知识理论,是哲学的问题,就会产生了辩证唯物主义,唯心主义,神学和各种各样的宗教。别看这些是宗教,其实宗教离科学只有一步之遥,因为他们实际上是对世界的一种认识。实际上,数学,用数学的方式来理解科学,也是必不可少的。我这里,因为时间关系,就不详细讲了。其实呢,自从人们从想立足地球,仰望星空的时候,人类就会对这个宇宙的认识,就越往远越想越深,这个越想越深,就会想到,这个比方说,宇宙是由什么组成的,按照什么方式组成的,至少的,古代的时候,认为有四种元素,是水,气候的组成元素,从伽利略,开普勒来讲,他们对行星有了进一步认识以后,实际上,就有了比方世界的几何轨道的运行,到了后来,原子理论,量子理论的产生以来,有了宇宙大爆炸,物质的不确定性,这些,都和数学息息相关。这个现代数学,现代物理,实际上是想了解物质世界现代物理的一个最根本问题,就是物质世界大统一理论,这个规范理论,大家如果是关心青年迁移问题,美国课外研究所提出七个青年迁移问题,其中有一个就是约翰斯理论。这个理论实际上是对世界大统一的一个描述,把这个问题搞清楚,解决这个关系,也是世界物理学的一个深入的理解的一个观念。所以说,因为现在我想讲一个简单的,就是物理学的发展,这个宏观的,微观的,宇宙尺度是爱因斯坦理论,通常这个介观理论是牛顿的理论,这三个理论是在不同的角度上理解这个世界的。大一统实际上是要在一个同一个角度上理解的。数学的哲学,实际上有很多数学得理论形成哲学的流派。数学之光,我想说数学的时髦与好玩。提到信息技术,也是息息相关的,数学是我们信息技术的基础。我一讲,同学觉得你王婆卖瓜,自卖自夸,数学本来就是一个基础学科。远远并不是这样的,如果没有现代数学理论,这些东西是不可能的,而且,没有现代数学理论在这里面持续的发挥作用,IT技术也不可能发展到现在,这样发展。比方说,讲一个例子,图像处理,很多模型都是偏微分方程的例子,比方说,这是这个一个特技效果,特技效果把这个去掉,我们从图像处理,偏微分方程角度,把这个修复掉,就是特技效果。这个照片,想把这个人去掉,你们年轻,很多文化大革命的风云不知道,比如一个领导人合影后来想去掉,没办法。现在,我们可以用图像处理的方法把这个人去掉,其实这些技术里面都是数学的使用,数学模型在里面。照片坏掉了,以前只能用破胶布贴起来,现在可以把这个画面修复掉,也是偏微分方程模型。黑白主义可以变成彩色主义。网络也是,数学起核心的作用。金融也是数学的技术在里面,如果没有现代数学理论,是没有这些东西的。所有的东西定价都是对应着数学模型。比方一些图像精准,比如肝癌的治疗,现在一个针打进去,把这个肝癌烤死,现在怎么办呢,这个毕竟要射到这个肝癌,它面积多大,涉及到布针,而且几针烧死,既要把这个癌细胞烧死,又要把这个好细胞保留,这个精准的分割,实际上就是一个数学的问题。我想数学这个,作为一个大学的数学学生,以后不管你承认不承认,你都和数学有了千丝万缕的联系,打上了数学的烙印,我想不管怎么样,作为学生来讲,我们要在学习过程学会基础,突出基础,学会思考,学会提问,所以我们应注重课程之间,章程之间的联系。作为一个学生,要使你的数学人生丰富多彩,我想仅仅知道数学表面的什么x.y.z公式,可能未免太单调。你应该充分了解数学的各个方面,要有数学的修养,文化,常识,才能成为一个学者,有学问。既要学又要问,要好奇,与老师,与生活交流,学什么,怎么学,我们应该学会思考的方式,最简单的,应该学会思考的方法。我想从数学本身来讲,有许多大的方法,比如公理,归纳的方法,一些无名的,量化的,模型的方法。从我们小的方法来讲,有线性化的,局部化的,概念化的方法,大家都应该去体会,去学习,我就不详细的说了。我觉得作为我们同学来讲,应该有一种开放的心态,课堂内,课堂外,对数学有全面的认识,我想这样才能把数学好,丰富你的数学人生。今天就讲到这,谢谢大家。
『责任编辑:李小双』
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