思睿讲坛第172期:王杰
作者:袁娟   来源:青春飞扬    点击数:次   发布时间:2016/12/06
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阿贝尔是罗威数学家,他首先考虑的是这个椭圆积分的反函数,也就是说,可以把上限u视为v的函数。我给定了弧长,考虑转多少角度可以使弧长等于v,那我们就把u=y当做一个椭圆函数,文章是1827年发表的。注意他的出生年月日,阿贝尔年仅26岁,因肺结核病死,当时也没有有效的药,其实是疾病交加,大家都知道,肺结核其实是营养状况不良导致,穷,生活条件不好,如果吃得好一点,营养好一点,再加上治疗,但是天才往往夭折。

我们现在再来看,他给出了弧长的反函数,那么讨论弧长的反函数,大家都知道椭圆的特例是是圆,长轴短轴都相等,a=b。我们先来看圆的弧长,圆弧长的积分的反函数是sin,是一个周期函数。进一步考虑椭圆,椭圆的积分的反函数,这个数学上有个重要的概念——双周期函数。可以想象,圆的长短轴一样,所以只有一个周期,而椭圆,长轴上a2asin对称轴,b2bsin对称轴,这只是直观的想象,数学上很多事情都不是一开始就很严格,开始都是瞎猜的,根据你的直觉,根据你的洞察力来猜,猜到一回事是一回事,千万不要以为数学全部依靠逻辑,数学其实是需要很高很高的想象。曾经,大家知道德国哥尼斯堡大学,19世纪到20世纪初,其中就有伟大的数学家希尔伯特。有一次,人家告诉希尔伯特,一个数学系的导师转到文学系去了,他说,“是啊,他想象力不够啊!”所以不要以为数学没有文学需要想象力。

在这里也是,什么是双周期,我们通常将说周期函数都只有Weierstrass定理,简单地说这里有一个p我们假设定义在一个函数域上,双周期就是说我们有两个非零的弧数有一个欧米伽1,有一个欧米伽2,特别注意它们的比值不是一个实数,他加上1=p,再加上2=p,也就是说有两个周期,这样的函数就叫做双周期函数。双周期函数最大的特点是,p的导函数的平方与p的三次方加aapb满足这样一个公式。这个式子有没有很眼熟,正好是一条椭圆曲线的式子。这里就是有意思也是重要的是,一个双周期函数,它的点pp’正好落在椭圆曲线上。也就是给了一个椭圆函数,它的pp’正好就确定了一条弧数域上的Ellipse函数。这样就把椭圆曲线和椭圆函数联系起来了,做几何和拓扑方面研究的会感兴趣。给了一个双周期,一个欧米伽1,一个欧米伽2,定义一个整个格,所有整系数的组合,在费马里面,信息安全,经过量子计算之后,在这个格中,因为p本身是双周期,格中任意一个元素l加上去都会一样。于是p本来是定义在整个弧域上的,现在只需要很小一块就够了,格外和格里都一样。这里说的可能比较抽象,这里是欧米伽1,这里是欧米伽2,所有的都是欧米伽12的线性组合,在这一点上的p值和在另一点上的p值都是一样的,这一点的p值和这一点的p值也是一样的,所以weierstrass p函数定义在整个c上,只需要看这一部分就够了,这就是c拿掉l的区域,这一块不仅是说外面的和里面的是一样的,这两条边上的值是一样的,另外两条边上的值也是一样的,想象这是一张A4的纸,把p值一样的点折起来,首先变成一个直筒,再变成一个轮胎。实际上在几何中,商空间就是把一个平行四边的对边合起来鼓起的那一部分。回过头看,一个任意的实数Z,把Z变成PzP’z,就跑到椭圆曲线上了。进一步,椭圆曲线上的点导出商空间 cl的解系拓扑,椭圆曲线本来是一条曲线现在跟面相关联。拓扑中,闭曲线的分类,环面是菲戈等于1的二维闭曲面,就是说二维的闭曲面最简单的是球面,在球上装一个饼,就成了环面,而且这个环面是规格为一的,同时它又可以对应一个弧形,所以说椭圆曲线同构于环面,而环面是一种特殊的概率曲线,而且是规格为一的概率曲线,代进去,就会得到一个新的定义,代数几何上的,可以把椭圆曲线定义为规格为一的概率曲线,这个有什么好处呢,对于其他的分类,在一个代数中定义,复数域上z复数,规格为零的叫有理曲线,规格为一的是椭圆曲线,规格大于一的时候有两类,是抛物曲线和双曲线。

接下来我们说说椭圆曲线在密码学中的应用。这样一个重要的应用它的基础是什么,在于椭圆曲线的点可以构成一个项,为了构成一个项,在椭圆曲线上加一个点o,这个o是一个无穷远,就可以得到一个加法群,这个加法群用几何的描述最简单,假设说这是一个标准的椭圆曲线,它有两个点p,q,怎么做p+q在哪呢?首先,p+q可以连起一条直线,容易证明它和椭圆曲线交于第三点,但注意这个点并不是p+qp+q要关于x轴对称,这时候有四个p+q,而真正的p+q呢?有一些特殊的情形,比如说p=q,此时连线就变成了切线,同样的切线也交于第三点,P-p连线也交于三点,两条直线怎样才能交于无穷远,只有两条直线平行,所以此时认为椭圆曲线与这条直线在无穷远处相交,这是正好是0。那么这个群到底有多大,假设说在计算机里,大家都知道我们用的都是有限集,有限个数在有限集里做。假设在有限域上的椭圆曲线,那它的群包含的个数基本上跟区域的大小差不多。那这样的椭圆曲线和密码学有什么关系呢?这就要讲到离散对数,什么是离散对数,对数b=s=b,类似的给一个椭圆曲线和点p,它是r次,即p+p+p+......r次,另一个点q,已知它是p的倍数,现在要求这个点,就是说给了a的方幂,求那个b,就是把乘法变成加法,离散对数问题没有有效的方法来计算。在密码学发展的历史上,1976年是重要的一年,因为在这一年提出了公开密码体制,提出来之后,它最初解决的忙点是两个人互相不认识,然后他们要谈一点私密的事情,他们想要对方互相保密,要想保密首先得有一个密钥,还要有一个口令,那么口令怎么约定呢?怎么样用一个公开的信道来约定一个密钥。这在过去是无法实现的事情。选取公开信道约定密钥,他们构造一个椭圆曲线和点p是公开的,埃利斯取一个a是秘密的,鲍勃取一个b也是秘密的,埃利斯算q1=ap,鲍勃算q2=bp,这两个是在公开信道的,人人都知道q1·q2,人人也都知道p,但是不知道a,b,埃利斯自己有q1,同时他又收到了q2,他主要算a·q2,鲍勃收到了埃利斯发过来的q1,他算b·q1,这两个数不一样,aq2=abpbq1=abp,这样就达成了一致,所以这两个人现在就有一个共同的密钥,那你说为什么就保密了,因为任何其他的人通过公开渠道只能截取到p、q1、q2,哪怕椭圆曲线也知道,但是他要求出ab,相当于离散对数。

这个就是实际上就是为什么椭圆曲线会得到如此多的应用界的关注。当然这也是最简单最简单的例子。大家知道那是1976年的时候,现在那么就远远不止这些应用,你的手机,你的银行卡,做的一个线上的交易的背后其实都有。所以呢,我这给学数学的人说一下,学数学的其实很不容易,要做大量的不为人知的事情,你做的东西,全世界的每一秒和许多多的人都在用,但是呢几乎没有人知道,实际反应这样一个问题。好,那我们到这呢,讲最后一则故事,椭圆曲线与费马大定理大家是不是都觉得费马是数学家,其实费马一点都不是数学家,费马是知名的律师,业余数学家,生前做了什么呢,他在同事的书里面最后写了一个附录,并且还没有署名,是匿名的,但是确实是一个数学爱好者,爱好数学。那么所谓的费马大定理通常是说费马最后定理,对于任意的n大于2,那么这个方程没有没有非零的整数,那么n等于2时就是勾股定理x^2+y^2=z^2,就是勾股数,费马就说当n大于2的时候,费马他自己证明了n=4,这是他有明确写了来的证明的,a^4+b^4不会等于c^4,这就那本著名的书的一页,这是丢番图的算数。丢番图大家知道吧,古代著名的数学家。这本书的一页就是第二的例8,那么在这你看看这个页边好也确实不太宽,所以呢,当时费马就用拉丁文写了一段,也就是说我想到一个绝妙的证明,但是这页太窄了写不下,好像给出证明了只不过没能写下。他这么说以后,其实以后有许多多的著名的数学家想来证明,但是其实都没有成功,但是这里里面尽管有一些错误的东西,但发现了新的数学的领域和方法。好,我们现在看一下,假定a^n+b^n=c^n如果这个n有个数率,可以设n=p+d,假定n这个对于费马定理有解有整数,那么你只要把n换成结缔的pk,也就是说ap+bp=cp所以呢我们要证明费马大定理,就只要n等于素数解析证明就够了,如果等于合数其实就可以否定了。好,你比如说最简单的x等于a/cx=bc那么原来的,但是很可惜这是一条曲线,但不是椭圆曲线,到很晚很晚人们没有发现这个东西与椭圆曲线有什么关系,那么这个事情一直到了1984年一个人看出来,这个是德国数学家泽理,然后提出了有可能这么一条椭圆曲线,然后呢实际上这个椭圆曲线其实是不存在的。那他说怎么做呢,你假设abc就是费马方程的非零整数,他来定义一条椭圆曲线abxcabc就是费马大定理的三个数,就这样一条椭圆曲线(x-a^p=(x+b)^p,那么这边当然是三次多项式并且话呢他这个是三个根0abbp。那么你就可以得到呢它的判别式。他呢发现一个特别的椭圆曲线它可能跟另一个关于有理数运算的椭圆曲线。也就是说他要做一个猜想费马大定理,但是他又想到跟另一个猜想相关联,所以数学绝对不是单纯的逻辑,逻辑只是很小的一部分,最主要的是你要看到别人看不到的联系和关系等等这样一些东西。那么我们说一下另一个猜想,在日本1955年,两个日本数学家,古田峰他是研究一些有理数运算的一些椭圆曲线的性质然后呢,他可能当时不太严格,一开始很多东西大家并不是很是了解,那么后来呢,有另外一个他的哥们志村五郎还有一个是法国著名数学家艾格尔威,他们一块把古田峰进一步的提炼细化等等,最后形成一个严格的表述,给出了一个严格的定义,一条椭圆曲线一称为毛流尔,如果可以被一个模型式来参数化,就是有一类椭圆曲线是毛流尔椭圆曲线,那么有了这个事情,这是古田峰的故事,注意我们还是看看一看它的日期那我告诉大家古田峰是自杀,那个他55年提的感想后面要证实,发表非常好的甚至要走向辉煌顶峰时候,决定结束自己的生命。这就是第一个故事那么第二个故事,在座好像有不少女生,古田峰当时有一个未婚妻,大约在古田峰自杀一周,他的未婚妻随他而去,似乎他们两个约定好了一起走这一条路。我为什么要将这个故事就是想说数学家也有爱情,这是一个凄惨的故事,但是也有很多反应一些事情。那么再看看这个志村五郎这家伙看起来好像是比较正常的人,但是他其实有艺术家的气息。

越简单,这样看像是一个比较正常的人,其实你可以看这个样子就是有一点艺术家神经质的气质。真的,这个呢才是当教授的样子。好,那么这张照片实际上是很珍贵的,这个就是过年在日本参加一个代数数论会的时候坐在火车上还在讨论数学,这个逸和藤夫也是日本著名的数学家,J.P.serre,古山丰四个人在火车上去开会,然后在讨论数学,当面交代的这个照片。我们现在回过头来说数学了,到底它这个猜想是什么呢,他的猜想就是说有理数域上任意一条椭圆曲线都是模形式,这个Gerhard frey将近30年以后1984年他想出来的一个东西是什么呢,他说我们可以从这个方程出发假设这个是一组任意解,然后他造得的一个椭圆曲线不是椭的,他是猜的,当然这个猜是有根据的,他是做了很多的研究,这样一来,古山-志村维尔猜想说任意域上的椭圆曲线都是模的,而说我造的这条曲线可能不是模的,那这两种不是矛盾了吗?这个矛盾说明其实说明不可能有这个事情。所以frey他实际上自己并没有能够严格完整的证明他自己的猜想,但是他指出了一条路——怎么来证明他Fermat大定理,第一,证明古山的猜想,因此这条椭圆曲线有理数域上一定是模式的,第二,证明他自己的猜想,所以这条曲线又不是模的,那么这个矛盾说的这样的椭圆曲线不存在·,而它不存在就说明Fermat大定理那个方面没有非椭圆非曲线,那就证出来了。所以尽管frey并没有严格的完成他的证明,但是这条思路大家是沟通的,最后咱们是成功了。所以有时候不见得说你非要做完,第一个看出来的人可能更要紧,能看出这件事情。那么底下就有一堆人来做这个事情,第一,J.P.sale,就是当时的四个人在火车上,J.P.serre补上了frey那个并不严格的证明,还差一点,最后就有了serre's epsilon猜想。最后是肯·里比特证明了他的猜想,他完成了这个证明之后说这个frey根据费尔马大定理造出来的椭圆曲线一定不会是模的。剩下的是证明日本人古山丰的猜想,好像是更困难。当然并不是要证明所有的椭圆曲线都满足古山丰的猜想。这项工作最后是英国数学家andrew·wiles完成的,他在几乎秘密的情况下干了6年,采用了一个方法Galois,到了91年换了一个方法所谓的Kolyvagin方法,后来93年中,21号到23号在牛顿所做报告讲他的证明,但是不幸的的是后来人们发现他的证明有问题,然后他和他的学生Richard Taylor一起想办法差不多用了一年的时间来改正无果,949月,灵感再次光顾,他突然想到他原来的方法可以补他证明的漏洞,所以到9410月他提交了两篇文章,其中一篇是和他学生Richard Taylor一起完成的,最后把这个事情给完成了。Angles的《数学年刊》那一年那一期那一本就只登了这两篇文章。其实灵感也很重要,我的同学张益唐研究孪生素数问题起码也有20-30年,也是突然在他朋友家的后院里看路时突然灵光闪现。所以灵感还是很重要的,比如说奥利尔顿,有了实数,在实数上扩张是复数,复数是实数的二次元,很多人琢磨有没有比复数更大的数,奥利尔顿非常痴迷这件事,研究超复数,也是琢磨来琢磨去没想出来,也是在一座桥上想出来扩张一次不行,还得继续扩张一次,然后当时欣喜若狂刻在了桥墩上,现在桥上订了块牌子。他们这样一来,古山丰等人也证明了,最终完成了Fermat大定理。当然最后是证明是另外一些人证明的,也就是模系定理——有理数域上的任和一条椭圆曲线都是模定的。

『责任编辑:曾翔』
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