思睿讲坛第163期:景乃桓
作者:袁娟、吴兆伦、王栋、耿博坤   来源:青春飞扬    点击数:次   发布时间:2016/11/08
关键字

很高兴今天有机会和大家分享一下正则多边体的一些基本内容,今天我们主要面向本科生,我自己也是湖大的本科生,很高兴能够借八十五年校庆之际回母校和大家见面,今天我想讲的就是正则多面体,正则多面体又称柏拉图晶体,因为正则多面体很早由柏拉图第一次提出来,我今天想讲的就是从柏拉图晶体能够一直说到现代数学比较中心的内容之一,即仿射李代数的一些内容。

我们首先来看一下柏拉图,柏拉图是伟大的哲学家,而且是数学家。柏拉图又处在一种什么样的社会地位呢?我们知道在西方的哲学里,首先是从苏格拉底开始,传到柏拉图,再传到亚里士多德。柏拉图的出生年月大概是在纪元前424年到348年,现在我们说他是西方文明的奠基人物,在苏格拉底那个年代有很多的学说,但没有形成理论,在系统上对西方哲学进行一个描述或阐述,是从柏拉图开始的。柏拉图在我们现在所说的三大西方巨头中位居第二,他最重要的理论就是形的理论,他实际上是唯心主义的杰出代表,他认为我们现在看到的世界是一个镜像世界,不是真正的世界,所有东西是属于他的镜像的finding trail。他最早提出来万物是由土、水、火、空气和以太五种状态组成的,有点类似中国的五行学说,他为了支撑他的这五种物质构成世界学说,他用到了数学的方法,他说数学上有五种形态,然后他把每种形态对应到五种物质,这是他描述他的整个哲学理论的方法,他不同于苏格拉底,苏格拉底有很多是讲故事,柏拉图是讲道理,他用的道理是数学方法,所以他是数学家。
我们来看看柏拉图最喜欢讲的一个理论——正则多面体,我们现在把它叫做柏拉图晶体,我们前面已经说了,它类似于中国的金、水、木、火、土,我这里把他的五个正则多面体列出来了,分别是四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体,柏拉图用这五种多边体来阐述他的世界观。他对西方世界的影响是什么?比如说数学上的影响,我这里给出了几个例子,你去欧洲的商店里给小孩儿买玩儿剪纸,你就会发现有这些东西,这种剪纸呢,是随处可见的,那我们来看看,从柏拉图的正则多面体出发,他实际上第一个从系统上讲这五种多面体的性质,在他后面,另一个特别有名的人物就是开普勒,开普勒甚至根据五种体做成一个浑天仪,这是开普勒做得仪器对宇宙进行描述,这里面所有的组成图形除了菱形以外最主要的图形也是五种柏拉图晶体,这是开普勒在1596年制作的,开普勒除了讲力学的开普勒律以外,他花了很做时间做这个图形,其实,我们知道开普勒在整个物理学的发展中也很重要的,我们现在所知道的牛顿,说力学里面是牛顿定律,其实牛顿定律现在有人考证在开普勒时期已经给出来了,而且开普勒给出的数学理论更加严密,牛顿第二定律在开普勒是已经知道,只不过后来牛顿他的影响,我们说牛顿定律,其实在以前开普勒已经知道了。
回到柏拉图晶体,我们看这个四面体结构的柏拉图晶体,它有四个定点,六条边,四个面。再来看这个六面体、八面体,十二面体……分别看它们的点数、边数和面数,我们可以得到欧拉示性数,即点数减去边数加上面数等于二,比如四面体里,四减去六加上二,结果等于二,六面体里,八减去十二加上六,结果也是等于二。这五个柏拉图晶体全部满足这种性质,当然,满足这种性质的多面体并不只有这五种,有很多种,比如我们看到的足球,它也满足这个性质,但足球不是我们这里列的五种之一,也就是说,柏拉图晶体是有某种特性在里面的。这里我们说到欧拉示性数,欧拉他把柏拉图的很多数学理论进行了归结,并把之前的基础数学、应用数学也进行了系统总结,所以欧拉的社会地位个人认为就像中国历史上的司马迁的地位,我们现在用的很多的数学书的数学语言都是用的欧拉的语言,就像我们现在写的好的文章的语言有很多都是来源于《史记》。有人把欧拉跟黎曼、高斯比作现代数学的三个巨人,其实每一个领域里都有,就像哲学里有三个巨人苏格拉底、柏拉图以及亚里士多德。
欧拉也与柏拉图的晶体有关,这是欧拉在前东德发明的一个很有名的图,这个邮票里面列的是欧拉的名字,1707年到1783,这是纪念欧拉逝世两百周年,这个图像里画的图形是柏拉图晶体之一,写的公式也是欧拉示性数,这是83年,将这个欧拉的整个的另外就是前苏联纪念欧拉二百五十年的邮票,它也提到他是个数学家。
怎么具体确定柏拉图晶体,柏拉图基是这样的我们当时这样来定义,当时希腊人是这样定义正格多面体的,这个多面体定义为突的平面的列顶混合基和,它们用它们的边数以及所以连接这个点的点数以及面数要相等,另一个条件是每一点都由相同的边数相连,满足这两种条件的多面体叫正格多面体或者叫柏拉图晶体。你比如说看这个看我们这个立方体的顶点,每一个顶点都是由三条边连接的,而每一个面是正方形或者是四边形,每一面有四条边,每一个点都有三条线,这就是刚好满足条件就是正格多面体。回到这个定义,希腊人或者柏拉图它这个定义就是正格多面体每一个面都是由相同的边数以及每一个顶点都是相同的边数相连。然后柏拉图他曾经用这种方法不是很严格的数学方法证明只有如果。就是前面画的四面体和八面体,但是自从这个证明从柏拉图到欧拉这个年代很多人试图给出证明,但是其中的很多证明都是错的不严格的,现在我就想介绍一个最简单的证明,这个柯西的证明就是稍微用一下微分几何和微积分,既然我们刚才说了所有的边数,所有的面都有相同的边,我们把所有相同的边数记为x,所有的点都连有相同的边,这个就记作y,前面说过xy不一定相等,但是对于对每一个点的边数是一样的,每一个面它有的边数也是固定的,这个数分别记为xy,那么记作xy以后呢,用这个数据带入到xxx公式里面,看得到什么结果就是欧拉示性数里面欧拉示意数不是点,是点数减去边数加上面数,那我们就来数,我们就把顶点的个数,叫做v,每一个点面都连有x条边所以我把x乘上顶点就得到边数,这是数的边数,同时呢这一条边被数了两次,因为一条边有两个顶点连起来的,那么这每个点就要数它边数,就造成了两个被重复数了边数,x上顶点的数得到是两倍的主边数,那我们同样可以对面数来数,对于每一个面的总个数为f,每一个有y条边,外边形,那么乘上这个面以后呢,发现这个面呢,就用这种方法数边数也会重复,也被数了两边,因为每一边实际上由两个面相交才得到一条边,所以说你在左边这个面已经数过了右边这个面又数一次,所以这两个一数,正好这个边数的一倍数,所以得到a乘b等于2b,y乘u等于2u,让我们把带到欧拉示性数里面就得到1/x+1/y=1/e+1/2,那么因为1/e总是应该有个边数,而且这个边数至少要比e要大,所以这个指数肯定是要大于1/2的,所以我把刚才这个问题找所以的正个多面体问题化为找这个1/x和1/y大于等于1/2的整数解有多少,当然这个问题看作成为一个数论问题可以很容易,当然我们现在不管数论,用微积分来讲或者是用中学方程的图像来找,我们就把等于1/2的曲线画出来,就是这条曲线,那么在这条曲线之下来找大于1/2的整数解,同时要把这个ay要是非负的,边数当然是非负的整数,而且呢不能是个小于号,小于号不存在至少是一个三角形吧至少有三个边吧,而且这个点只有两个边连着不可能形成一个多面体,所以一定要比2要大那么在这个区间里面你去看一下有多少个正整数点,所以我们看出来了只有五个点就是(3.5)(3.4)(3.3)(4.3)(5.3)就这五点,用这个简单的方法证明正格多面体只有五种,就是我们前面找到的五种就是我们前面找到的五种就是x=3.3 正好对应的是四面体,3.4对应的是立方体,4.3对应的是八面体,以及十二面体和二十面体。如果你看这个a是y的分布的话马上看到对称性,就是我把a和y对调一下,3.3对调一下还是3.3,3.4是一个解4.3也是一个解,3.5是个解5.3也是个解,所以它在本身上就有一个对称性,但这个对称性反应了图形里面是什么意思呢?图形里面的意思是有一个很有名的对称性叫做凡卡尔对偶,曾经有一个有争议的庞加莱猜想,就是我们中国人这个临门一脚的得到庞加莱猜想吧。庞加莱猜想其中有一个庞加莱对偶就是这个图形里面可以得到的。你可以想象一下如果我把这个面的中点全部往外拉在拉的过程中间这个图形还是四面体,但是你会发现这两个这个图形就变成这个图形了,你可以想象中点肥皂破把中间拉开的话上面这个立方体,八面体是互为对偶的,同时呢十二面体和二十面体也是互为对偶的,这个对偶就叫做凡卡尔对偶,在真正的凡卡尔对偶是用上平料所定义,但这个对偶最基本的原因就是刚才说的这个原因。这是对称在里面。对称性可以有几何的解释也可以有深层的解释,但是最简单的解释是说所谓的对称就是说xy对调之后它不变,在这个方程里面可以很明显的可以看到。另外还有一个就是看这个公式的话,这个公式就是说刚才我们不是说每一点由x个边连接每一个边,一个面有y条边,那么跟这个xy呢你可以算出顶点的个数以及边数f数,这个公式叫做sharefre公式,你从这个公式可以看出v这个公式以及ef这个公式的话,它v和f就是它顶点的个数以及面的个数这两个公式是正好对称的,把ax和y对调,关于v的公式和f的公式对调就是相同的,e的公式是不变的,e这个是边数在变化中边还是变成边,但是面就和点对应了,就在欧拉示性数里面是e减去f加上v,再用v减去e加上f的话,那个e是不变的那个点数和面数正好是可以变的。除了我们刚才讲的,还有一种叫做退化,退化的晶体有两个,就是里面有个deta,其中有一个是金字旁,这个里面有对称性,我把这一点固定不动的话,这个我们只管它一个对称性就是让它旋转,这个两个多边形会连接在一起叫做二面体它经过循环的变化后也不变,但是这里面的对称性多一个它可以上下翻滚也是不变的,那个的对称性只有一个就是循环的对称性,这个是除了循环对称性还有一个上下翻滚的对称性,所以说这个里面第一个对应的是循环体,而第二个对应的是对称性是二面体,所有循环之外加一个二阶的反射,那么根据刚才那个讨论呢,如果不看上面的柏拉图晶体加上退化的二面体加上李希的话,那么对称性群的话正好也是五个,就是对称群和二面体群这是偶数之间的置换,这个是刚才那几种图形的对称性,其实刚才那个对应本来应该是五个,但是在卡萨拉对偶情况下就退化成三个,那我们总是还想凑出五个嘛,把这个退化的也加进去和循环体加进去还是五个。那么这个表是以前就我刚才把这情况整个的sharefreseagull,wellseagull都介绍了,对偶就考虑清楚了,它通过凡卡列对偶进行这个xxxx变成了,是互相对应的。刚讲的只是,十二阶,二十四阶六十阶,但是我们真正感兴趣还是还是两倍层的,这就是伊卡萨其诺。那我们来看看它的四面体,看它们十二阶和二十四阶是怎么得到的,比如说我把一点固定转这个位置,得到三阶是足够的,同样我也可以把每一点固定。
数学工具,可以说现代比如说数学领域或所有的科学领域里面最伟大的两个科学点,一个是相对论,另外一个是量子力学,那么相对论的数学基础之一是XX点,量子力学的数学基础是什么呢,因为我们做数学通常可以说是线性代数,微分几何里面的基础是微积分,这也是为什么我们大学里面的数学点要学微积分以及线性代数,这个微积分发展上面是到,微积分上面是微分几何,这是相对论的数学基础。而我们线性代数是量子理论里面的数学基础,所以说我们现在为什么要涉及学习微积分与线性代数,从一方面可以说是跟我们这个相对论与量子力学有关。而现在研究这些东西呢其实数学里面有个特别好玩的地方它可以用最简单的例子去研究,比如说我们刚才的SAR2 2*2矩阵,2*2矩阵里面另外一个跟它对应的一个SEQ,就是行列式等于1但是这是U矩阵,我们线性代数里面曾经学过U矩阵,很微小的变化以后还是不变的,这个XX矩阵它刚好是3阶的实正交矩阵的双重覆盖,这两个已经叫打开最基本的理论物理最重要的物理理论它其实里面花了一半的篇幅去介绍这两句,SEQ及SO3,所以你对这个两个东西掌握的好话,你去理解最高深的物理问题,实际上你可以大概80%没问题,那么这是李群,什么是李代数呢,也是我们微积分仿照类似的,你对李群进行求导,就是线性化,现在我们微积分里面,一般的很特殊的函数,不好理解它的性质我们就让它线性化,求导数求切线,所以对李群进行求导就得到李代数。得到李代数以后就回到我们前面UN的这些群,然后这一步研究完了后,这大概是过去一百年大家都研究这个东西都研究的很清楚,到了80年代的时候大家发现这些理论要量子化,量子化以后就得到我们现在所谓的量子数。为什么李理论非常有用呢,比如说我这里列过量子力学,所有的理论物理里面都要用李理论,然后到后面的比如说近代理论物理以及拓扑甚至在应用数学里面这个control这控制个也要用李理论,不仅数学里面要用,应用数学里面也要用。
这个矩阵单位是三阶实正交矩阵的双重覆盖,这两个是打开最基本的理论物理的它其实里面花一半的经历介绍这两个xpq比xo3,对这两个集合认识很好的话去理解最高深的物理的理论的大概80%可以搞清楚。
刚刚说李洵,什么是李代数呢!也是仿照微积分的类似的,对李洵求导就是线性化,微积分里面很特殊的函数很不好研究它的性质,就去把它线性化求导数求切线,所以对李洵进行求导的李代数,得到李代数然后回到我们前面研究的un,过了100年大家研究这个东西研究的很清楚,到了80年代大家发现这一理论需要量子化,量子化之后得到我们所谓的量子数学,为什么在以理论里面非常有用,现在我这里面列出以理论的这些比如量子力学,现在这些理论物理里面都要用到以理论,到后面这个近代理论物理______和________,以及拓扑____,甚至在应用数学里面的control(控制)也要用到以理论,不光纯数学要用,在高深的应用数学里面也要用到以理论,其中最杰出的代表就是和木瓜而,他是最后一个即是数学家又是物理学家,歌厅真机学派的代表人物。
量子力学和相对论是21世纪最重要的理论,而以理论是它们共同的数学基础,在近代数学发展里面代数、几何还有量子群,现在发展的最好的就是把这些理论都联系起来的理论,这就是我们为什么说以理论贯穿了所有的领域,举几个例子,第一就是无限维李代数以及群,以及量子理论,无限理论也是数学里面的从有限发展到无限,它可以用线性代数来解决。线性代数里面我们学过正定矩阵,它是它的二次型总是正数,还有半正定矩阵和不定矩阵,对于卡当型矩阵通过正定来分类,可以分成三类,这三类正好是研究无限维李代数的三类。几何的东西可以用代数来刻画,代数也可以用几何估量来刻画,在现代数学理论中代数和几何已经不分家了,进一步现在数论和几何也不分家了,很多东西都是在一个大一统的情况下,在一个更高的层次上完全是一体化的,发展到现在理论物理和数学也不分家了,很多重要的物理理论发展到数学领域,而数学理论会返回物理应用到物理理论中去,通过相互的互动得到最重要的理论。举个例子,最近得到菲尔兹奖的人,你在里面找不到完全只做数学一家的人,他的理论一定是跟物理有关系或者和其他领域有关系的,近三十年没有人只做纯数学的研究,比如PDE里面的孤立子方程、微分方程,这些都是和以理论有关系的,代数方程我之前都说过了,这是无限维李代数的定点代数的共心子论,物理里面的群论,量子理论,甚至组合里面的代数组合,在我们的这些观点下这些理论都是大一统的,它们之间都是相连的,就会有很多关联性的东西,其中一个就是柏拉图晶体,它把所有的东西都串起来,它还有很多其他的串联的方式,以及数论里面的特殊函数。
作为中国人比较骄傲的就是量子信息领域走到世界的前列,我们已经发射了量子卫星,它的数学基础就是用的量子力学加上线性代数。我们数学人可以很自豪的说发上天的卫星用到的数学基础就是线性代数。量子群广义的就是把线性代数发展到极致的观点。刚刚我们说的蒲开尔对应可以用群论的方法把所有的放射李代数全部实现,这里实现的方式是群表现的方式,这里的γ有限群并不是所有的表现群,只是我们前面说的五种表现群,五种群能把全部的东西表现出来。
『责任编辑:李小双』
本文关键字:

上一条:思睿讲坛第165期:雷志斌 下一条:思睿讲坛第162期:刘仁文



编辑推荐